Předmět Matematika A2 navazuje na látku probranou v předchozím semestru v rámci matematiky A1. Je zde dokončena tématika lineární algebry, včetně lineárních zobrazení a jejich využití při řešení soustav lineárních rovnic. Dále se studenti seznámí s lineárními diferenciálními rovnicemi druhého řádu s konstantními koeficienty a základy teorie soustav lineárních rovnic prvního řádu, rovněž s konstantními koeficienty. Následuje diferenciální počet funkcí více proměnných a poté integrální počet funkcí více proměnných, konkrétně dvojný a trojný integrál.
Skripta jsou primárně určena pro studenty chemických a biochemických oborů, proto obsahují příklady s chemickou tematikou. Tato skripta pokrývají základy lineární algebry, diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné.
Klíčová témata a příklady
1. Lineární algebra
V rámci lineární algebry se probírají vlastnosti vektorových prostorů a lineárních zobrazení z $R^n$ do $R^m$. Dále se studují lineární zobrazení, zejména ta z $R^n$ do $R^m$, a jejich reprezentace pomocí matic.
Příklady z této oblasti zahrnují:
- Vlastnosti vektorových prostorů a lineárních zobrazení z $R^n$ do $R^m$.
- Lineární zobrazení, zvláště lineární zobrazení z $R^n$ do $R^m$ a jeho reprezentace maticemi.
2. Diferenciální rovnice
Tato část se zaměřuje na řešení obyčejných lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty, včetně řešení počátečních úloh. Studenti se učí řešit nehomogenní rovnice metodou variace konstant i metodou odhadu. Dále se probírají soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty.
Příklady zahrnují:
- Řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty, resp. soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu, s konstantními koeficienty - obecné řešení i řešení počáteční úlohy.
- Obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty (počátečních úloha); řešení nehomogenních rovnic metodou variace konstant i odhadem; komplexní exponenciela.
3. Diferenciální počet funkcí více proměnných
Tato sekce pokrývá metrický prostor $R^n$, včetně definic metriky, okolí bodu, otevřených, uzavřených a souvislých množin, hranice množiny, hromadného bodu a uzávěru množiny. Dále se zabývá skalárními a vektorovými funkcemi více reálných proměnných, jejich definičními obory a příklady. Velká pozornost je věnována limitám a spojitosti funkcí, včetně základních vět a vlastností spojitých funkcí. Studenti se naučí počítat parciální derivace, gradient funkce, derivaci ve směru a pracovat s totálním diferenciálem funkce, včetně jeho geometrického významu (tečná rovina) a lineární aproximace. Dále se probírá věta o derivaci složené funkce více proměnných a její aplikace, stejně jako Taylorův polynom pro funkce více proměnných. Implicitní funkce jedné i více proměnných jsou rovněž podrobně rozebrány, včetně výpočtu jejich derivací a aproximace.
Příklady z této oblasti zahrnují:
- Výpočet parciálních derivací, totálního diferenciálu, lineární aproximace.
- Vyšetření lokálních nebo globálních extrémů funkce dvou proměnných.
- Vyšetření vlastností implicitně definovaných funkcí.
- Metrický prostor $R^n$ - metrika, okolí bodu, množina otevřená, uzavřená, hranice množiny, hromadný bod množiny, uzávěr množiny, souvislá množina, oblast.
- Skalární a vektorová funkce více reálných proměnných - definiční obor, příklady.
- Limita a spojitost - základní věty o limitách a spojitosti, vlastnosti spojitých funkcí.
- Parciální derivace - definice, základní věty a výpočet, záměnnost parciálních derivací vyšších řádů.
- Gradient funkce.
- Definice derivace ve směru.
- Diferencovatelnost funkce, (totální) diferenciál funkce - definice, geometrický význam (tečná rovina ke grafu funkce dvou proměnných ), lineární aproximace funkce (aproximace funkce pomocí totálního diferenciálu), souvislost mezi diferencovatelností funkce a existencí parciálních derivací, postačující podmínka pro diferencovatelnost funkce (pro existenci totálního diferenciálu).
- Věta o derivaci složené funkce více proměnných, vzorec pro výpočet derivace ve směru, užití věty o derivování složených funkcí pro transformaci diferenciálních operátorů při změně souřadnic.
- Taylorův polynom pro funkce více proměnných.
- Implicitní funkce jedné i více proměnných - výpočet derivací funkce dané implicitně.
- Aproximace implicitně definované funkce Taylorovým polynomem 1. nebo 2. stupně.
4. Integrální počet funkcí více proměnných
Tato část se věnuje definici dvojného a trojného integrálu, měřitelným množinám a podmínkám integrovatelnosti. Studenti se seznámí se základními vlastnostmi dvojného a trojného integrálu a naučí se je počítat pomocí Fubiniovy věty, která převádí vícenásobné integrály na dvojnásobné nebo vícenásobné integrály. Důležitou součástí je také substituce do vhodných souřadnic.
Příklady zahrnují:
- Definice dvojného a trojného integrálu.
- Měřitelná množina, nutná podmínka integrovatelnosti funkce na měřitelné množině, postačující podmínky integrovatelnosti.
- Základní vlastnosti dvojného a trojného integrálu.
- Výpočet - Fubiniova věta (převedení dvojného, resp. trojného integrálu na integraci dvojnásobnou, resp. vícenásobnou).
- Substituce do vhodných souřadnic.
Literatura a zdroje
Při studiu těchto témat lze využít následující doporučenou literaturu:
- Klíč a kolektiv: Matematika I ve strukturovaném studiu I. VŠCHT, Praha 2013.
- Turzík a kolektiv: Matematika II ve strukturovaném studiu II.
- Heřmánek a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky I.
- Štěpánek: Matematika pro přírodovědce II. Univerzita Karlova, Karolinum, Praha 1997.
- Krylová, Hamhalter, Tišer: Diferenciální počet funkcí více proměnných.
- Hamhalter, Tišer: Integrální počet funkcí více proměnných.
- Došlá: Matematika pro chemiky 1. díl. Masarykova univerzita, Brno.
- Došlá: Matematika pro chemiky 2. díl. Masarykova univerzita, Brno.
- Došlá, Došlá, Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. Masarykova univerzita, Brno.
Skripta jsou k dispozici v knihkupectví Malé centrum, Přírodovědecká fakulta, Kotlářská 2, Brno.